Вариант 1: Множества. Мощность. Теорема Кантора
Краткая выжимка (для тех, кто проспал лекции):
1. Множество
Множество - это такая штука, куда можно сложить другие штуки. Например, множество несданных экзаменов или множество выпитых чашек кофе.
Формально: \( A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\} \)
2. Мощность |A|
Это "сколько?" для множества. Если элементов конечное число - просто считаем. Если бесконечно - начинается магия.
Пример: \( |\{1, 2, 3\}| = 3 \)
3. Равномощность
Два множества равномощны, если между ними можно установить биекцию (взаимно однозначное соответствие).
Грубо говоря: каждому элементу первого множества находим пару из второго.
4. Счётные множества
Множества, равномощные натуральным числам \( \mathbb{N} \).
- \( \mathbb{N} \) - натуральные числа
- \( \mathbb{Z} \) - целые числа
- \( \mathbb{Q} \) - рациональные числа
Сюрприз: все эти бесконечности одинаковы!
5. Теорема Кантора (главное, что спросят)
\( |A| < |\mathcal{P}(A)| \)
Где \( \mathcal{P}(A) \) - множество всех подмножеств \( A \).
Проще: множество всегда "меньше" множества своих подмножеств.
Даже если \( A \) бесконечно! Это как вложенные матрёшки бесконечности.
Что писать на экзамене:
1. Множество = набор элементов
2. Мощность = количество
3. Биекция = взаимно однозначное соответствие
4. Счётные множества: N, Z, Q
5. Теорема Кантора: мощность множества меньше мощности множества его подмножеств
6. Нарисовать диагональный аргумент Кантора (просто красивые стрелочки)