Вариант 2: Элементы комбинаторики
"Комбинаторика - это когда непонятно, как считать, но очень нужно"
Краткая выжимка (чтобы не считать на пальцах):
1. Правило суммы: m + n
Если можно сделать ИЛИ то, ИЛИ другое. Как выбрать пиццу: пепперони ИЛИ маргарита.
Пример: \( \text{вариантов} = 5 + 3 = 8 \)
2. Правило произведения: m × n
Если нужно сделать И то, И другое. Как собрать лук: выбрать рубашку И штаны.
Пример: \( \text{комбинаций} = 4 × 3 = 12 \)
3. Перестановки: n!
Сколько способов переставить n различных предметов. Как расставить книги на полке.
\( P_n = n! = 1 × 2 × 3 × ... × n \)
Запомните: \( 0! = 1 \) (да, так договорились!)
4. Размещения: A_n^k = n!/(n-k)!
Сколько способов выбрать k элементов из n и упорядочить их. Как выбрать старосту и зама из группы.
\( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
5. Сочетания: C_n^k = n!/(k!(n-k)!)
Сколько способов выбрать k элементов из n без учёта порядка. Как выбрать команду для КВН.
\( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
Что писать на экзамене:
Если путаете формулы:
1. Перестановки: когда ВСЕ элементы и ВАЖЕН порядок → n!
2. Размещения: когда НЕ ВСЕ элементы и ВАЖЕН порядок → A_n^k
3. Сочетания: когда НЕ ВСЕ элементы и НЕ ВАЖЕН порядок → C_n^k
4. Если порядок важен = размещения
5. Если порядок не важен = сочетания
1. Перестановки: когда ВСЕ элементы и ВАЖЕН порядок → n!
2. Размещения: когда НЕ ВСЕ элементы и ВАЖЕН порядок → A_n^k
3. Сочетания: когда НЕ ВСЕ элементы и НЕ ВАЖЕН порядок → C_n^k
4. Если порядок важен = размещения
5. Если порядок не важен = сочетания
Лайфхак: Если забыли формулу сочетаний, нарисуйте треугольник Паскаля. Это красиво и создаёт видимость, что вы что-то знаете.