Вариант 4: Определители. Теорема Лапласа

Краткая выжимка (чтобы не запутаться в знаках):

1. Определитель матрицы: det(A)

Число, которое характеризует матрицу. Если det(A) = 0 → матрица вырожденная (плохая).

\( \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)} \)

2. Инверсии в перестановке

Пара индексов (i, j), где i < j, но σ(i) > σ(j).

Чётность перестановки определяется чётностью числа инверсий.

3. Свойства определителя

• Если поменять две строки местами → det меняет знак
• Если умножить строку на число → det умножается на это число
• Если строки пропорциональны → det = 0
• det(AB) = det(A) × det(B)

4. Разложение Лапласа

Можно раскладывать определитель по строке или столбцу:

\( \det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} \)

где M_ij - минор (определитель матрицы без i-й строки и j-го столбца).

Что писать на экзамене: